Câu hỏi:
19/12/2023 219
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho \[AD = \frac{a}{2}\]. Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét tam giác ABC vuông tại A
Có: AB⊥AC ⇔ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) ⇔ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\) vì D thuộc AC
Vì M là trung điểm của BC nên ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
Lại có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc ba điểm)
Khi đó ta có \(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} \)\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)
\( = 0 - A{B^2} + AC.AD.cos0^\circ - 0\)
\( = - {a^2} + 2a.\frac{a}{2} = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow AM \bot BD\) (đcpcm).
Xét tam giác ABC vuông tại A
Có: AB⊥AC ⇔ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) ⇔ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\) vì D thuộc AC
Vì M là trung điểm của BC nên ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
Lại có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc ba điểm)
Khi đó ta có \(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} \)\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)
\( = 0 - A{B^2} + AC.AD.cos0^\circ - 0\)
\( = - {a^2} + 2a.\frac{a}{2} = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow AM \bot BD\) (đcpcm).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB = 4, BC = 8. Tính \(\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB = 4, BC = 8. Tính \(\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\).
Câu 2:
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2) và B(3; – 1). Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2) và B(3; – 1). Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD với giao điểm hai đường chéo là I. Khi đó:
Cho hình bình hành ABCD với giao điểm hai đường chéo là I. Khi đó:
Câu 5:
Cho mẫu số liệu sau:
24; 16; 12; 5; 9; 3.
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
Cho mẫu số liệu sau:
24; 16; 12; 5; 9; 3.
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right|\).
Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right|\).
Câu 8:
Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 15,318 biết \(\overline a \) = 15,318 ± 0,05.
Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 15,318 biết \(\overline a \) = 15,318 ± 0,05.
Câu 9:
Cho tập hợp K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Cho tập hợp K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Câu 10:
Cho các vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương và \(\overrightarrow x = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b \), \(\overrightarrow y = 2\overrightarrow a + 6\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow z = - 3\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Cho các vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương và \(\overrightarrow x = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b \), \(\overrightarrow y = 2\overrightarrow a + 6\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow z = - 3\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Câu 11:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Biết: \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 30^\circ \), \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \sqrt 3 \)và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\). Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Biết: \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 30^\circ \), \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \sqrt 3 \)và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\). Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \).
Câu 12:
Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: \(\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {AC} = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: \(\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {AC} = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Câu 13:
Cho tam giác ABC có điểm I nằm trên cạnh AC sao cho \(\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \), J là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \). Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
Cho tam giác ABC có điểm I nằm trên cạnh AC sao cho \(\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \), J là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \). Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
Câu 15:
Để làm đường điện dây cao thế ở Hà Giang từ vị trí bản A đến bản B, người ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ bản A đến bản C dài 12 km rồi nối từ bản C đến bản B dài 8 km. Qua đo đạc người ta xác định được \(\widehat {ABC} = 65^\circ \). Hỏi so với việc nối thẳng từ bản A đến bản B, người ta tốn thêm bao nhiêu tiền, biết mỗi km dây có giá 150 000 đồng.
Để làm đường điện dây cao thế ở Hà Giang từ vị trí bản A đến bản B, người ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ bản A đến bản C dài 12 km rồi nối từ bản C đến bản B dài 8 km. Qua đo đạc người ta xác định được \(\widehat {ABC} = 65^\circ \). Hỏi so với việc nối thẳng từ bản A đến bản B, người ta tốn thêm bao nhiêu tiền, biết mỗi km dây có giá 150 000 đồng.
