Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 4 cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao

Bài 9.44 trang 111 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 4 cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB.

a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC .

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD.

Trả lời

a) Ta có $\widehat{DAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=90°$$\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90°$(do tam giác ACH vuông ở H).

Suy ra $\widehat{DAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$ ).

Tam giác HDA vuông tại D và tam giác AHC vuông tại H có $\widehat{\widehat{DAH}=\widehat{ACH}}$nên ΔHDA ∽ ΔAHC .

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC, ta có

BC² = AB² + AC² = 4² + 5² = 41.

Suy ra $BC=\sqrt{41}$cm.

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 5}{2}=10$ (cm²).

Lại có $S_{ABC}=\frac{AH\cdot BC}{2}$ , do đó AH ∙ BC = 2 . 10 = 20, suy ra AH =$\frac{20}{BC}$  =$\frac{20}{\sqrt{41}}$(cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ACH ta có AC² = AH² + CH².

Do đó, CH² = AC² – AH² = 4² –${\left(\frac{20}{\sqrt{41}}\right)}^2=\frac{256}{41}$ .

Suy ra $CH=\frac{16}{\sqrt{41}}$ (cm).

Vì ΔHDA ∽ ΔAHC nên $\frac{HD}{AH}=\frac{HA}{AC}\Rightarrow HD=\frac{A{H}^2}{AC}=\frac{\frac{400}{41}}{4}=\frac{100}{41}$ (cm).

Ta có BH = BC – HC = $\sqrt{41}-\frac{16}{\sqrt{41}}=\frac{25}{\sqrt{41}}$  (cm).

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: