Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a) Hãy so sánh hai góc MAB và MAC

Bài 9.4 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

a) Hãy so sánh hai góc MAB và MAC.

(HD. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP rồi chứng minh hai tam giác AMC và PMB bằng nhau).

b) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Hỏi D thuộc đoạn thẳng MB hay đoạn thẳng MC? Vì sao?

Trả lời

a) Lấy P là điểm thuộc đường thẳng AM sao cho M là trung điểm của AP.

Xét hai tam giác ∆ AMC và ∆ PMB có:

AM = PM (M là trung điểm của AP)

MC = MB (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMC}=\widehat{PMB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AMC = ∆PMB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{MPB}$  (hai góc tương ứng) (1)

Và AC = PB

Mà AB > AC (gt)

Nên suy ra AB > PB

Xét tam giác ABP có AB > PB (cmt) nên theo định lí 1 ta có $\widehat{APB}>\widehat{BAP}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAC}>\widehat{MAB}$  (3).

b) AD là đường phân giác của góc BAC nên ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$  (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra được: $2\widehat{MAC}>\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}$

Hay  $2\widehat{MAC}>\widehat{DAB}+\widehat{DAC}=2\widehat{DAC}$

Suy ra $\widehat{MAC}>\widehat{DAC}$ .

Do đó MC > DC.

Vậy D là điểm thuộc đoạn thẳng MC.