Cho tam giác ABC có A(2; -1); B(2; -2) và C(0; -1). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\overrightarrow{BC}=(-2;1)$⇒ BC = $\sqrt{{(-2)}^2+1^2}=\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AB}=(0;-1)$⇒ AB = $\sqrt{0^2+{\left(-1\right)}^2}=1$;

$\overrightarrow{AC}=(-2;0)$⇒ AC = $\sqrt{{\left(-2\right)}^2+0^2}=2$.

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Khi đó phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

⇒ d(A; BC) = $\frac{\left|2+2.(-1)+2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$= $\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇒ S_ABC = $\frac{1}{2}$.d(A; BC) . BC = $\frac{1}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}$= 1 (đvdt)

Mặt khác, ta có: S_ABC = p.r

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

r = $\frac{S_{ABC}}{p}$= $\frac{1}{\left(\frac{1+2+\sqrt{5}}{2}\right)}$ = $\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$