Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng góc BAC = góc PMN, AB = 2MN

Bài 9.4 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{PMN},AB=2MN$. Chứng minh ∆MNP ∽∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.

Trả lời

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ABC}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ . (1)

Tương tự, tam giác MNP cân tại M nên $\widehat{MNP}=\frac{180°-\widehat{PMN}}{2}$ . (2)

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$  nên từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ .

Lấy B', C', lần lượt là trung điểm của AB, AC thì ta có B'C' // BC.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{AB\text{'}C\text{'}};\widehat{ACB}=\widehat{AC\text{'}B\text{'}}$  (các cặp góc đồng vị).

Hai tam giác AB'C' và MNP có:

$\widehat{B\text{'}AC\text{'}}=\widehat{NMP}$ (theo giả thiết);

$AB\text{'}=\frac{AB}{2}=MN$ (theo giả thiết);

$\widehat{AB\text{'}C\text{'}}=\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$\ (chứng minh trên).

Vậy ∆MNP = ∆AB'C' (g.c.g).

Mặt khác, ∆AB'C' ∽ ∆ABC (vì B'C' // BC).

Do đó, ∆MNP ∽ ∆ABC với tỉ số đồng dạng $k=\frac{MN}{AB}=\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{1}{2}$ .

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: