Lời giải
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Khi đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra EF song song với BC.
Do đó, ∆AEF ᔕ ∆ABC.
Lại có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = 2\) nên ∆ABC ᔕ ∆AEF với tỉ số đồng dạng bằng 2 (1).
Vì EF song song với BC nên: \(\widehat {ABC} = \widehat {AEF},\widehat {ACB} = \widehat {AFB}\) (hai góc đồng vị).
Mà tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).
Do đó, \(\widehat {ABC} = \widehat {AEF} = \widehat {ACB} = \widehat {AFE}\).
Tam giác MNP cân tại M nên \(\widehat {MNP} = \widehat {NPM}\).
Lại có: \(\widehat {ABC} = \widehat {MNP}\) (giả thiết).
Do đó, \(\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM}\).
Ta có EF = \(\frac{1}{2}BC\) (do EF là đường trung bình của tam giác ABC) và
\(NP = \frac{1}{2}BC\) (do BC = 2NP). Do đó, EF = NP.
Tam giác AEF và tam giác MNP có:
\(\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM}\) (chứng minh trên)
EF = NP (chứng minh trên)
Do đó, tam giác AEF và tam giác MNP bằng nhau (g.c.g).
Suy ra ∆AEF ᔕ ∆MNP với tỉ số đồng dạng bằng 1 (2).
Từ (1) và (2) ta có: ∆ABC ᔕ ∆MNP với tỉ số đồng dạng bằng 2.