Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh: a) I cách đều ba cạnh của tam giác

Bài 81 trang 92 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;

b) KI là tia phân giác của góc EKD.

Trả lời

Sách bài tập Toán 7 Bài 11 (Cánh diều): Tính chất ba đường phân giác của tam giác  (ảnh 1) 

a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ABD^=DBC^=12ABC^.

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên ACE^=ECB^=12ACB^.

Mà ABC^=ACB^ (do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra ABD^=DBC^=ACE^=ECB^.

• Xét ∆ABD và ∆ACE có:

BAC^ là góc chung,

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

ABD^=ACE^ (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AD = AE (hai cạnh góc vuông).

• Xét ∆ABK và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh trên),

AK là cạnh chung,

BK = CK (do K là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).

Suy ra BAK^=CAK^ (hai góc tương ứng).

Hay EAK^=DAK^.

• Xét ∆AEK và ∆ADK có:

AE = AD (chứng minh trên),

EAK^=DAK^ (chứng minh trên),

AK là cạnh chung.

Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)

Suy ra AKE^=AKD^ (hai góc tương ứng)

Nên KA là đường phân giác của góc EKD.

Mặt khác do BAK^=CAK^ nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả