Cho phương trình mặt phẳng (P): 2x+y+z-3=0, đường thẳng $d^{\text{'}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$  và điểm $A\left(0;2;1\right)$ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách d và d' đạt giá trị lớn nhất.

A. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{-9}$ .

Gọi $d_1$  là đường thẳng đi qua A và song song với d'.

Phương trình của $d_1$  là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{array}\right.$ .

Trên đường thẳng $d_1$  lấy điểm $B\left(1;0;0\right)$ .

Gọi $\left(Q\right)$  là mặt phẳng chứa d và $d_1$ .

Ta có $d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(d^{\text{'}},\left(Q\right)\right)=d\left(B,\left(Q\right)\right)$ .

Do $d_1$  cố định cho nên $d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(B,\left(Q\right)\right)\le d\left(B,d_1\right)$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\overrightarrow{BH}$  trong đó H là hình chiếu của B lên $d_1$ .

Ta tìm được $H\left(\frac{-2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$  nên $\overrightarrow{BH}=\left(\frac{-5}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(-5;2;1\right)$ .

Ta có $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]=\left(1;7;-9\right)$ .

Vậy phương trình của đường thẳng d là $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{-9}$ .

Chọn A.