Câu hỏi:
29/12/2023 83
Cho nhị thức \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\), trong đó số nguyên \(n\) thỏa mãn \(A_n^3 = 12n\). Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển.
Cho nhị thức \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\), trong đó số nguyên \(n\) thỏa mãn \(A_n^3 = 12n\). Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét phương trình \(A_n^3 = 12n\) (n ≥ 3)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n\)
\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.\)
Do đó chỉ có \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện.
Khi đó \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}\)
\( + 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\)
\( = 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}\).
Vậy số hạng chứa x5 trong khai triển là 80x5.
Xét phương trình \(A_n^3 = 12n\) (n ≥ 3)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n\)
\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.\)
Do đó chỉ có \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện.
Khi đó \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}\)
\( + 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\)
\( = 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}\).
Vậy số hạng chứa x5 trong khai triển là 80x5.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 và điểm I(1; – 2). Gọi (C) là đường tròn tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 4. Viết phương trình đường tròn (C).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 và điểm I(1; – 2). Gọi (C) là đường tròn tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 4. Viết phương trình đường tròn (C).
Câu 2:
Phương tiện bạn Khoa có thể chọn đi từ Hải Dương xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt được thể hiện qua sơ đồ cây sau:
Hỏi bạn Khoa có mấy cách chọn đi từ Hải Dương xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt.
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(– 2; 3) và đi qua điểm A(6; 0). Viết phương trình đường tròn (C).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(– 2; 3) và đi qua điểm A(6; 0). Viết phương trình đường tròn (C).
Câu 4:
Một đường tròn có tâm I(3; –2), tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 5y + 1 = 0. Bán kính của đường tròn đó bằng:
Một đường tròn có tâm I(3; –2), tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 5y + 1 = 0. Bán kính của đường tròn đó bằng:
Câu 5:
Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh ở Việt Nam được thống kê trong bảng sau:
Năng suất lúa (tạ/ha)
25
30
35
40
45
Tần số
4
7
9
6
5
So sánh Q1 và Q2 ?
Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh ở Việt Nam được thống kê trong bảng sau:
|
Năng suất lúa (tạ/ha) |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
|
Tần số |
4 |
7 |
9 |
6 |
5 |
So sánh Q1 và Q2 ?
Câu 6:
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(–2; 4) và B(1; 0) là:
Câu 8:
Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:
Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:
Câu 9:
Cho 8 điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong 8 điểm đó.
Cho 8 điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong 8 điểm đó.
Câu 10:
Thời gian chạy 50 m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:
Khoảng biến thiên của bảng số liệu trên là:
Thời gian chạy 50 m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:
Khoảng biến thiên của bảng số liệu trên là:
Câu 11:
Đề thi trắc nghiệm môn Toán gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một học sinh không học bài nên mỗi câu trả lời đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để học sinh đó được đúng 6 điểm là bao nhiêu?
Đề thi trắc nghiệm môn Toán gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một học sinh không học bài nên mỗi câu trả lời đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để học sinh đó được đúng 6 điểm là bao nhiêu?
Câu 12:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(–1; –2) và N(–3; 2). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(–1; –2) và N(–3; 2). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là:
Câu 13:
Cho tập A có n phần tử (n ∈ ℕ, n ≥ 2), k là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trên là:
Cho tập A có n phần tử (n ∈ ℕ, n ≥ 2), k là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trên là:
Câu 14:
41 học sinh của một lớp kiểm tra chất lượng đầu năm thang điểm 30. Kết quả như sau:
Điểm
9
11
14
16
17
18
20
21
23
25
Số lượng (tần số)
3
6
4
4
6
7
3
4
2
2
Phương sai của bảng số liệu trên là:
41 học sinh của một lớp kiểm tra chất lượng đầu năm thang điểm 30. Kết quả như sau:
|
Điểm |
9 |
11 |
14 |
16 |
17 |
18 |
20 |
21 |
23 |
25 |
|
Số lượng (tần số) |
3 |
6 |
4 |
4 |
6 |
7 |
3 |
4 |
2 |
2 |
Phương sai của bảng số liệu trên là:
Câu 15:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec a_1}\), \({\vec a_2}\). Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng d1. Khi đó d1 trùng d2 khi và chỉ khi:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec a_1}\), \({\vec a_2}\). Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng d1. Khi đó d1 trùng d2 khi và chỉ khi:
