Cho hypebol có phương trình: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
498
11/04/2023
Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: x2a2−y2b2=1 .
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.
c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M1M2 nhỏ nhất.
Trả lời
a) A1 thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A1 thuộc hypebol, do đó ta có: x2a2−02b2=1
⇔ x2 = a2.
Do hoành độ của A1 nhỏ hơn hoành độ của A2 nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A1 và A2 là: A1(− a; 0) và A2(a; 0).
b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: x2a2−y2b2=1.
Ta cần chứng minh: x2 ≥ a2 thì yêu cầu của bài toán được giải quyết.
Giả sử: x2 ≥ a2 ⇔x2a2≥1 (chia cả 2 vế cho a2).
Vì x2a2−y2b2=1 nên x2a2=1+y2b2≥1 (do y2b2≥0)
Do đó: x2a2≥1 luôn đúng.
Suy ra x2 ≥ a2.
+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≤ − a.
+) Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≥ a.
c) Gọi điểm M1(x1; y1) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x1 < 0, M2(x2; y2) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x2 > 0.
Theo câu b ta có: x1 ≤ − a và x2 ≥ a nên |x1| + |x2| ≥ a + a = 2a.
Do x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 − x1 = |x2| + |x1| ≥ a + a = 2a.
Ta có: M1M2 = √(x2−x1)2+(y2−y1)2; A1A2 = √(a−(−a))2+(0−0)2=√(2a)2
Lại có: (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≥ (|x2| + |x1|)2 + 0 ≥ (2a)2.
Nên (M1M2)2 ≥ (A1A2)2
Suy ra M1M2 ≥ A1A2.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M1 trùng A1 và M2 trùng A2.
Vậy để M1M2 nhỏ nhất thì M1 trùng A1 và M2 trùng A2.