Cho hypebol có phương trình: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$  .

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁ nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để  M₁M₂ nhỏ nhất.

Trả lời

a) A₁ thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A₁ thuộc hypebol, do đó ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$

⇔ x² = a².

Do hoành độ của A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A₁ và A₂ là: A₁(− a; 0) và A₂(a; 0).

b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. 

Ta cần chứng minh: x² ≥ a² thì yêu cầu của bài toán được giải quyết. 

Giả sử: x² ≥ a²   $\iff \frac{x^2}{a^2}\ge 1$ (chia cả 2 vế cho a²). 

Vì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên  $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$ (do $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$)

Do đó: $\frac{x^2}{a^2}\ge 1$ luôn đúng. 

Suy ra x² ≥ a². 

+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x² ≥ a² nên x ≤ − a.

+) Nếu  M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x² ≥ a² nên x ≥ a.

c) Gọi điểm M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x₂ > 0.

Theo câu b ta có: x₁ ≤ − a và x₂ ≥ a nên |x₁| + |x₂| ≥ a + a = 2a.

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ − x₁ = |x₂| + |x₁| ≥ a + a = 2a.

Ta có: M₁M₂ = $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$; A₁A₂ = $\sqrt{{\left(a-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}$

Lại có: (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² ≥ (|x₂| + |x₁|)² + 0 ≥ (2a)².

Nên (M₁M₂)² ≥ (A₁A₂)² 

Suy ra M₁M₂ ≥ A₁A₂.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Vậy để M₁M₂ nhỏ nhất thì M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.