Cho elip (E): x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$. 

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂,  B₁B₂.

b) Xét một điểm bất kì M(x₀; y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng, b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a² và b ≤ OM ≤ a. 

Chú ý: A₁A₂, B₁B₂ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b. 

Trả lời

a) 

+) Có A₁ thuộc trục hoành Ox nên y = 0, hơn nữa A₁ lại thuộc (E) nên $\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$.

⇔ x² = a². 

Chọn A₁ nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A₁(– a; 0).

Chọn A₂ nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A₂(a; 0).

Suy ra độ dài A₁A₂ = $\sqrt{{\left(a-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=2a$ (do a > 0).

+) B₁ thuộc trục tung Oy nên x = 0,hơn nữa B₁ lại thuộc (E) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

⇔ y² = b².

Chọn B₁ nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B₁(0; – b).

Chọn B₂ nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B₂(0; b).

Suy ra độ dài B₁B₂ = $\sqrt{{\left(0-0\right)}^2+{\left(b-\left(-b\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(2b\right)}^2}$= 2b  (do b > 0).

Vậy A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b. 

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó: 

$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ . 

+) Giả sử b² ≤ x₀² + y₀², chia cả hai vế cho b² > 0 ta được: 

$$\begin{gathered} \frac{b^2}{b^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \\ \iff 1\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \\ \iff \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \\ \iff \frac{x_0^2}{a^2}\le \frac{x_0^2}{b^2} \end{gathered}$$

Do a > b > 0 nên a² > b² > 0, và x₀² ≥ 0 với mọi x₀ nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}$ luôn đúng. 

Vậy b² ≤ x₀² + y₀². 

+) Chứng minh tương tự ta được: x₀² + y₀² ≤ a². 

Vậy b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a²     (*).

+) Ta lại có: OM = $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$

Từ (*) ta suy ra: $b\le \sqrt{x_0^2+y_0^2}\le a$

Do đó: b ≤ OM ≤ a.