Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N

Bài 3.38 trang 73 Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N. Chứng minh DM + BN = MN.

Trả lời

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{D}=90°$ .

Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N nên $\widehat{APM}=90°$ .

Do đó $\hat{D}=\widehat{APM}=90°$ .

Xét ∆ADM và ∆APM có:

$\hat{D}=\widehat{APM}=90°$ (chứng minh trên)

Cạnh AM chung

$\widehat{MAD}=\widehat{MAP}$ (vì AM là tia phân giác của $\widehat{DAP}$ ).

Do đó ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MD = MP và AD = AP (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có: AB = AD và AD = AP nên AB = AP.

Xét ∆ABN và ∆APNcó:

$\widehat{ABN}=\widehat{APN}=90°$;

AN là cạnh chung;

AB = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆ABN = ∆APN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BN = PN (hai cạnh tương ứng).

Khi đó MN = MP + PN = MD + BN.

Vậy DM + BN = MN.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: