Cho hình lập phương MNPQ.M’N’P’Q’ có cạnh bằng a. a) Góc giữa hai đường thẳng MN và M’P’ bằng
976
09/12/2023
Bài 1 trang 116 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương MNPQ.M’N’P’Q’ có cạnh bằng a.
a) Góc giữa hai đường thẳng MN và M’P’ bằng:
A. 30°;
B. 45°;
C. 60°;
D. 90°.
b) Gọi α là số đo góc giữa đường thẳng M’P và mặt phẳng (MNPQ). Giá trị tanα bằng:
A. 1;
B. 2;
C.
D.
c) Số đo của góc nhị diện [N, MM’, P] bằng:
A. 30°;
B. 45°;
C. 60°;
D. 90°.
d) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (NQQ’N’) bằng:
A. a;
B.
C.
D.
Trả lời
a) Đáp án đúng là: B
Vì MNPQ.M’N’P’Q’ là hình lập phương nên MM’ // PP’ và MM’ = PP’.
Suy ra M’P’PM là hình bình hành. Do đó MP // M’P’.
Suy ra góc giữa hai đường thẳng MN và M’P’ bằng góc giữa hai đường thẳng MN và MP và bằng
Vì MNPQ là hình vuông nên đường chéo MP là đường phân giác của góc NMQ, do đó
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và M’P’ bằng 45°.
b) Đáp án đúng là: D
Vì MNPQ.M’N’P’Q’ là hình lập phương nên M’M ⊥ (MNPQ).
Khi đó, MP là hình chiếu của M’P trên (MNPQ).
Suy ra góc giữa đường thẳng M’P và mặt phẳng (MNPQ) bằng , tức là
Vì MNPQ là hình vuông nên do đó tam giác MNP vuông tại N.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác MNP vuông tại N có:
MP2 = MN2 + NP2 = a2 + a2 = 2a2
Suy ra
Do M’M ⊥ (MNPQ) và MP ⊂ (MNPQ) nên M’M ⊥ MP.
Xét ∆M’PM vuông tại M (do M’M ⊥ MP) có:
Suy ra với
c) Đáp án đúng là: B
Do M’M ⊥ (MNPQ) và MN ⊂ (MNPQ), MP ⊂ (MNPQ).
Suy ra M’M ⊥ MN và M’M ⊥ MP.
Mà MN ∩ MP = M ∈ M’M.
Do đó là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [N, MM’, P].
Theo câu a ta có
Vậy số đo của góc nhị diện [N, MM’, P] bằng 45°.
d) Đáp án đúng là: B
Gọi O là giao điểm của MP và NQ.
Vì MNPQ là hình vuông nên MO ⊥ NQ.
Do MNPQ.M’N’P’Q’ là hình lập phương nên N’N ⊥ (MNPQ).
Mà MO ⊂ (MNPQ) nên N’N ⊥ MO.
Ta có: MO ⊥ NQ, MO ⊥ N’N và NQ ∩ N’N = N trong (NQQ’N’).
Suy ra MO ⊥ (NQQ’N’).
Khi đó, d(M, (NQQ’N’)) = MO.
Vì MNPQ là hình vuông và O = MP ∩ NQ nên O là trung điểm của MP.
Do đó
Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (NQQ’N’) bằng
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: