Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AC ⊥ BC, AC = a. a) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC

Bài 6 trang 116 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AC ⊥ BC, SA=BC=a3,AC = a (Hình 99).

Bài 6 trang 116 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.

b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

c) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].

d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

g) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Trả lời

a) Do SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Vậy góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90°.

b) Vì SA ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABC).

Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng SCA^.

Do SA ⊥ (ABC) và AC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A (do SA ⊥ AC) có:

tanSAC^=SAAC=a3a=3SAC^=60°.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°.

c) Do SA ⊥ (ABC) và AB, AC đều nằm trên (ABC).

Suy ra SA ⊥ AB, SA ⊥ AC.

Mà AB ∩ AC = A ∈ SA.

Như vậy, BAC^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C].

Xét tam giác ABC vuông tại C (do AC ⊥ BC) có:

tanBAC^=BCAC=a3a=3BAC^=60°.

Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, C] bằng 60°.

d) Ta có: BC ⊥ SA (theo câu a);

               BC ⊥ AC;

               SA ∩ AC = A trong (SAC).

Suy ra BC ⊥ (SAC).

Khi đó dB,SAC=BC=a3.

Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng a3.

e) Ta có: AC ⊥ SA (theo câu c) và AC ⊥ BC.

Suy ra đoạn thẳng AC là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC.

Khi đó d(SA, BC) = AC = a.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng a.

g) Diện tích tam giác ABC vuông tại C (do AC ⊥ BC) là:

SΔABC=12AC.BC=12a.a3=a232.

Thể tích của khối chóp S.ABC có chiều cao SA=a3 và diện tích đáy SΔABC=a232 là:

VS.ABC=13.SΔABC.SA=13.a232.a3=a32.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả