Câu hỏi:
03/04/2024 28
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Lấy E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, \(CC'\) và O là tâm của đáy \(A'B'C'D'\). Gọi I là giao điểm của BC và mặt phẳng \(\left( {FOE} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{IC}}{{IB}}\) và xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {FOE} \right)\).
Trả lời:
Phương pháp:
Gọi N là trung điểm của \(A'B'\), G là giao điểm của \(NC'\) với EF.
Từ đó mở rộng mặt phẳng \(\left( {FOE} \right)\) rồi tìm giao tuyến của \(\left( {FOE} \right)\) với các mặt của hình hộp.
Cách giải:
Gọi N là trung điểm của \(A'B' \Rightarrow NE//FC'\) nên bốn điểm N, E, F, C đồng phẳng.
Trong \(\left( {NEFC} \right)\), gọi \(G = NC' \cap EF \Rightarrow G \in EF \subset \left( {FOE} \right)\).
Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), gọi H, K lần lượt là giao điểm của GO với \(D'C'\), \(A'B'\)
Khi đó \(\left( {FOE} \right) \equiv \left( {GKE} \right)\).
Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\), gọi \(P = KE \cap B'B \Rightarrow P \in BB' \subset \left( {BCC'B'} \right)\).
Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\), gọi \(I = PF \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in BC\\I \in PF \subset \left( {GKE} \right) \equiv \left( {FOE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = BC \cap \left( {FOE} \right)\).
Khi đó
\(\left( {FOE} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = HK\)
\(\left( {FOE} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = KE\)
\(\left( {FOE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EI\)
\(\left( {FOE} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = IF\)
\(\left( {FOE} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = FH\)
Thiết diện là ngũ giác EIFHK.
Ta có, \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{PB}}{{CF}}\), \(CF = \frac{1}{2}CC' \Rightarrow \frac{{PB}}{{CF}} = \frac{{PB}}{{\frac{1}{2}CC'}} = 2.\frac{{PB}}{{BB'}}\) .
\(HC'//KN \Rightarrow \frac{{HC'}}{{KN}} = \frac{{GC'}}{{GN}}\)
Mà \(C'F//NE \Rightarrow \frac{{GC'}}{{GN}} = \frac{{C'F}}{{NE}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{HC'}}{{KN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{A'K}}{{KN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{A'K}}{{A'N}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{A'K}}{{A'B'}} = \frac{1}{6}\)
\( \Rightarrow \frac{{KN}}{{A'N}} = \frac{2}{3} = \frac{{K'N}}{{NB'}} \Rightarrow \frac{{K'N}}{{NB'}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{NE}}{{PB'}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{BB'}}{{PB'}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{PB}}{{PB'}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{PB}}{{BB'}} = \frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{PB}}{{CF}} = 2.\frac{{PB}}{{BB'}} = 2.\frac{3}{2} = 3\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi xanh bằng số bi vàng.
Câu 2:
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng 8.
Câu 3:
Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Giả sử \(a//\left( \alpha \right)\), \(b \subset \left( \alpha \right)\). Khi đó:
Câu 4:
2. Tìm số hạng chứa \({x^{29}}\) trong khai triển theo nhị thức Niu-tơn của \({\left( {{x^2} - x} \right)^n}\), biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(2C_n^2 - 19n = 0\).
Câu 5:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, hỏi dãy số nào là dãy số giảm?
Câu 7:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{5n + 3}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Hỏi số \(\frac{1}{3}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
Câu 8:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3}}{{2{n^2} - 1}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng \({u_5}\).
Câu 10:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD với O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SD.
1. Chứng minh MO song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
2. Gọi K là trung điểm của MO. Chứng minh rằng NK song song với \(\left( {SBC} \right)\).
3. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\). Hỏi thiết diện là hình gì?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD với O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SD.
1. Chứng minh MO song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
2. Gọi K là trung điểm của MO. Chứng minh rằng NK song song với \(\left( {SBC} \right)\).
3. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\). Hỏi thiết diện là hình gì?