Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông. Chứng minh rằng AB ⊥ A’D’ và AC ⊥ B’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A’B'

Bài 3 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông.

a) Chứng minh rằng AB ⊥ A’D’ và AC ⊥ B’D’.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A’B’.

Trả lời

a) ⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên A’D’ // AD (tính chất hình hộp).

Mà AB ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông)

Từ đó, suy ra AB ⊥ A’D’.

⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ta có BB’ // DD’ và BB’ = DD’.

Suy ra B’D’DB là hình bình hành nên ta có B’D’ // BD.

Mà AC ⊥ BD (vì ABCD là hình vuông)

Từ đó, suy ra AC ⊥ B’D’.

b) Xét hình vuông ABCD có: $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=45°$.

Mà AB // A’B’ nên $\left(AC,A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)=\left(AC,AB\right)=\widehat{CAB}=45°$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và A’B’ bằng 45°.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: