Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD

Bài 18 trang 74 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) AIKD và BIKC là hình vuông.

b) $IK=\frac{DC}{2}$ và $\widehat{DIC}=90°$.

Trả lời

a) VìI là trung điểm của AB nên$IA=IB=\frac{1}{2}AB$ (1)

Vì K là trung điểm của CD nên$KD=KC=\frac{1}{2}CD$ (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $IA=IB=KC=KD\left(=\frac{1}{2}AB\right)$.

Ta có AB = 2BC,

suy ra $BC=\frac{1}{2}AB$, suy ra $IA=IB=KC=KD=BC=AD\left(=\frac{1}{2}AB\right)$.

Xét tứ giác AIKD có: AI // DK (vì ABCD là hình chữ nhật); AI = DK (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AIKD là hình bình hành.

Ta lại có AI = AD nên AIKD là hình thoi.

Mà $\hat{A}=90°$ nên AIKD là hình vuông.

Tương tự, tứ giác BIKC có: BI // CKvà BI = CKnên BIKC là hình bình hành.

Lại có BI = BC nên BIKC là hình thoi.

Mà $\hat{B}=90°$ nên BIKC là hình vuông.

b) Vì AIKD là hình vuông nên $IK=AD=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$.

Suy ra $IK=\frac{1}{2}CD$.

Vì AIKD là hình vuông nên ID là đường phân giác của $\widehat{AIK}$.

Suy ra $\widehat{DIK}=\widehat{\frac{AIK}{2}}=\frac{90°}{2}=45°$.

Vì BIKC là hình vuông nên IC là đường phân giác của $\widehat{BIK}$.

Suy ra $\widehat{CIK}=\frac{\widehat{BIK}}{2}=\frac{90°}{2}=45°$.

Do đó $\widehat{DIC}=\widehat{DIK}+\widehat{CIK}=45°+45°=90°$.

Vậy $\widehat{DIC}=90°$.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi

Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài tập cuối chương 3 trang 72

Bài 1: Thu thập và phân loại dữ liệu

Bài 2: Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu

Bài 3: Phân tích dữ liệu