Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $MN=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $\left(SBD\right)$  bằng

A.  $\frac{\sqrt{2}}{5}$

Mà $MI\text{ // SO, MI}=\frac{1}{2}SO\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{14}}{2}$ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Ta có $O\left(0;0;0\right),\text{ B}\left(0;\frac{\sqrt{2}}{2};0\right),\text{ D}\left(0;-\frac{\sqrt{2}}{2};0\right),\text{ C}\left(\frac{\sqrt{2}}{2};0;0\right),\text{ N}\left(\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};0\right)$ ,

$A\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};0;0\right),\text{ S}\left(0;0;\frac{\sqrt{14}}{2}\right),\text{ M}\left(-\frac{\sqrt{2}}{4};0;\frac{\sqrt{14}}{4}\right)$

Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{4};-\frac{\sqrt{14}}{4}\right),\overrightarrow{SB}=\left(0;\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{14}}{2}\right),\overrightarrow{SD}=\left(0;-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$ .

Vecto pháp tuyến mặt phẳng $\left(SBD\right)$ : $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SD}\right]=\left(-\sqrt{7};0;0\right)$ .

Suy ra $\sin \left(MN,\left(SBD\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|-\sqrt{7}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right|}{\sqrt{7}.\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn B.