Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ⊥ (ABCD)

Luyện tập 1 trang 45 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Trả lời

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ AO và SO ⊥ BO mà (SAC) ∩ (SBD) = SO, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng AO và BO.

Mà (AO, BO) = $\stackrel{\perp }{AOB}$.

+) Nếu (SAC) ⊥ (SBD) thì $\widehat{AOB}=90°$, khi đó AC ⊥ BD mà ABCD là hình chữ nhật, suy ra ABCD là hình vuông.

+) Nếu ABCD là hình vuông thì AC ⊥ BD, suy ra $\widehat{AOB}=90°$ hay (SAC) ⊥ (SBD).

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Bài tập cuối chương 7