Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC

Bài 7.16 trang 53 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (ABC) và (SAH) ⊥ (SBC).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=30°$, AC = a, $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Trả lời

a) Vì SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC).

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Vì SA ⊥ BC và AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH), suy ra (SAH) ⊥ (SBC).

b) Vì BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ SH mà AH ⊥ BC nên $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=30°$, AC = a có: $\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}$

$\Rightarrow AB=\frac{AC}{\tan \widehat{ABC}}=\frac{a}{\tan 30°}=a\sqrt{3}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A có: $\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=1$ $\Rightarrow \widehat{SHA}=45°$.

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 45°.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Bài tập cuối chương 7