Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của SA, BC. Điểm N thuộc cạnh SC sao cho \[SN = 2NC\].

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNK) mặt phẳng (SAB) và tìm giao điểm H của AB với mặt phẳng (MNK).

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNK). Tính tỉ số \[\frac{{HA}}{{HB}}\]?

Phương pháp:

+ Sử dụng cách tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

+ Sử dụng định lý Ta-lét để tìm tỉ số

Cách giải:

a)

* Trong \[\left( {SBC} \right)\], kéo dài NK cắt SB tại G

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}MG \subset \left( {MNK} \right)\\MG \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\] nên \[\left( {MNK} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MG\]

* Trong (SAB), gọi MG cắt AB tại H

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}H \in MG \subset \left( {MNK} \right)\\H \in AB\end{array} \right.\] nên H là giao điểm của AB với (MNK)

b)

* Xác định thiết diện

Gọi \[AC \cap BD = \left\{ O \right\}\], trong (SAC) có \[SO \cap MK = \left\{ I \right\}\]

Trong (ABCD) có \[BD \cap HN = \left\{ E \right\}\]

Trong (SBD) có \[EI \cap SD = \left\{ P \right\}\]

Khi đó ta có \[\left( {MNK} \right) \equiv \left( {MPKNH} \right)\]

Hay \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNK} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NK\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MH\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MP\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {SDC} \right) = PK\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = NH\end{array} \right.\]

Nên thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNK) là ngũ giác PMHNK.

* Tính tỉ số \[\frac{{HA}}{{HB}}\]

Trong ∆SQK kẻ \[BF//SK\left( {F \in QK} \right)\]

Khi đó \[\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{KC}}{{BF}}\] (theo Ta-let) mà \[NB = NC \Rightarrow KC = BF\]

Mà \[\frac{{KC}}{{SK}} = \frac{1}{2}\] suy ra \[\frac{{BF}}{{SK}} = \frac{1}{2}\] mà \[BF//SK \Rightarrow \] BF là đường trung bình của ∆GQK.

Do đó B là trung điểm của SG

Trong ∆GMS kẻ \[BQ//SA\left( {Q \in GM} \right)\] mà B là trung điểm của SG nên QB là đường trung bình của ∆GSM

Suy ra \[\frac{{QB}}{{SM}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{QB}}{{MA}} = \frac{1}{2}\] (do \[SM = MA\])

Vì \[QB//AM\], theo định lét Ta-let ta có \[\frac{{QB}}{{MA}} = \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{HA}}{{HB}} = 2\].