Bài 4 trang 122 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:
a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);
b) SB song song với (MNP);
c) SC song song với (MNP).
d) Gọi G1 và G2 theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 song song với (SAD).
a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC
Ta có MN // BC và BC ⊂ (SBC), suy ra MN // (SBC);
MN // AD và AD ⊂ (SAD), suy ra MN // (SAD).
Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Trong ∆SAB, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB
Mà PM ⊂ (MNP), suy ra SB // (MNP).
c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.
Gọi E là giao điểm của MP và d.
Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)
Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB
Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)
Suy ra ES = NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.
Lại có NE ⊂ (MNP), suy ra SC // (MNP).
d) Gọi I là trung điểm của BC.
Do G1 và G2 theo thứ tự là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC nên
Trong ∆SIA, ta có , suy ra G1G2 // SA (định lí Thalès đảo)
Mà SA ⊂ (SAD), nên G1G2 // (SAD).
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Bài 2: Hai đường thẳng song song
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song