Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, góc BAC = 120°, SA= a/(2 căn 3)

Luyện tập 4 trang 48 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, BAC^=120°,SA=a23. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng SMA^ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Trả lời

Luyện tập 4 trang 48 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A mà AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ⊥ BC.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AM ⊥ BC, suy ra BC ⊥ (SAM), do đó BC ⊥ SM.

Vì AM ⊥ BC và BC ⊥ SM nên SMA^là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Áp dụng định lí Côsin cho tam giác ABC, có:

BC2=AB2+AC22ABACcosBAC^ =a2+a22aacos120° =2a2+2a212=3a2 BC=a3.

Vì M là trung điểm của BC nên BM=MC=a32.

Xét tam giác AMB vuông tại M, có AM=AB2BM2=a23a24=a2

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AM.

Xét tam giác SAM vuông tại A, có: tanSMA^=SAAM=a23a2=13 SMA^=30°.

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Bài tập cuối chương 7

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả