Bài 5 trang 65 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MDCN là hình thoi;
b) Tam giác EMC là tam giác cân;
c) .
a) Ta có: MF ⊥ CE, AB ⊥ CE, suy ra MN // AB // CD.
Xét tứ giác MDCN ta có: MD // CN (do AD // BC; M ∈AD, N ∈ BC) và MN // CD (chứng minh trên).
Do đó tứ giác MDCN là hình bình hành.
Mặt khác M là trung điểm của AD nên .
Lại có AD = 2AB mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên .
Do đó MD = CD.
Suy ra hình bình hành MDCN là hình thoi.
b) Xét tứ giác ADCE ta có AE // CD (theo câu a).
Do đó, tứ giác ADCE là hình thang với hai đáy AE và CD.
Xét hình thang ADCE có:
M là trung điểm AD (giả thiết);
AE // MF // CD (theo câu a).
Theo chứng minh ở Bài 5, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: F là trung điểm của CE.
Xét ∆EMC có MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE và MF ⊥ CE (giả thiết).
Do đó ∆EMC cân tại M.
c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên (tính chất đường chéo của hình thoi).
Mà ∆EMC cân tại M nên .
Ta có . (1)
Lại có (hai góc so le trong). (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hình thang – Hình thang cân
Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi
Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông