Cho hàm số $f\left(x\right)=x+\sqrt{4-x^2}$

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm tập xác định của f'(x).

c) Tìm x sao cho f'(x) = 0.

a) Điều kiện 4 – x² ³ 0 Û −2 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là [−2; 2].

b) Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)}^{\text{'}}$$=1+\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4-x^2}}$

$=1+\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}$$=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$$=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}$

Điều kiện để f'(x) xác định là 4 – x² > 0 Û −2 < x < 2.

Vậy tập xác định của f'(x) là (−2; 2).

c) Có f'(x) = 0 thì $\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}=0$$\Rightarrow \sqrt{4-x^2}-x=0$

$\iff \sqrt{4-x^2}=x$$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 4-x^2=x^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2x^2=4\end{array}\right.$$\iff x=\sqrt{2}$

Kết hợp với điều kiện ở câu b, ta có $x=\sqrt{2}$  là giá trị cần tìm.