Cho hàm số f(x)= x^2-x khi x bé hơn bằng 0 và -x^3+mx khi x>0 với m là tham số.
Cho hàm số f(x)={x2−x khi x≤0−x3+mx khi x>0, với m là tham số. Tìm m để hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ.
+) Với x < 0 thì f(x) = x2 – x. Có f'(x) = 2x – 1.
+) Với x > 0 thì f(x) = −x3 + mx. Có f'(x) = −3x2 + m.
Hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi tồn tại f'(0).
Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.
Có limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+−x3+mxx=limx→0+(−x2+m)=m
limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−x2−xx=limx→0−(x−1)=−1
Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi m = −1.
Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.