Cho hàm số $y=\left|x^3-mx+1\right|$ . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên $\left[1;+\infty \right)$ . Tổng các phần tử của S bằng

Đặt  $g\left(x\right)=x^3-mx+1$

Ta có  $\underset{x\to +\infty }{\lim g\left(x\right)}=+\infty$. Do đó hàm số $y=\left|g\left(x\right)\right|$  đồng biến trên $\left[1;+\infty \right)$  khi và chỉ khi

 $\left\{\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[1;+\infty \right)\\ g\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[1;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x^2-m\ge 0,\forall x\in \left[1;+\infty \right)\\ x^3-mx+1\ge 0,\forall x\in \left[1;+\infty \right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3x^2,\forall x\in \left[1;+\infty \right)\\ m\le x^2+\frac{1}{x},\forall x\in \left[1;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le \underset{\left[1;+\infty \right)}{\min }\left(3x^2\right),\forall x\in \left[1;+\infty \right)\\ m\le \underset{\left[1;+\infty \right)}{\min }\left(x^2+\frac{1}{x}\right),\forall x\in \left[1;+\infty \right)\end{array}\right.$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m\le 2\end{array}\right.\iff m\le 2\Rightarrow m\in \left\{0;1;2\right\}$

Chọn B.