Cho hàm số  $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1khi0\le x\le 1\\ 1+xkhi1<x\le 2\\ 5-xkhi2<x\le 3\end{array}\right.$ có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x₀ = 1 và x₀ = 2, có tồn tại giới hạn  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x₀) không?

+) Tại x₀ = 1 ta có:

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 1 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 khi đó  $\underset{x_n\to 1^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=1$.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 1 < x_n ≤ 2 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 + x_n  khi đó  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=2$.

Suy ra  $\underset{x_n\to 1^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)\ne \underset{x_n\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)$. Do đó không tồn tại   $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

+) Tại x₀ = 2

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 2 và x_n → 2 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó  $\underset{x_n\to 2^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 2 < x_n ≤ 3 và x_n → 2 thì f(x_n) = 5 – x_n khi đó  $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$.

Suy ra  $\underset{x_n\to 2^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{x_n\to 2^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$. Do đó  $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=3$.

Ta có f(2) = 1 + 2 = 3.

Vì vậy  $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=3$.