Cho hai hàm số f(x)= x3 + x và g(x) = x2 + 1 (x ∈ ℝ). Hãy cho biết a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không

Hoạt động 4 trang 76 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x)= x³ + x và g(x) = x² + 1 (x ∈ ℝ). Hãy cho biết:

a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không.

b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x).g(x); $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$có liên tục tại x = 2 hay không.

Trả lời

a) Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^3+x\right)$ = 2³+2 = 10 = f(2). Do đó hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+1\right)$ = 2²+1 = 5 = g(2). Do đó hàm số g(x) liên tục tại x = 2.

b) Tại x = 2 có$\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=10+5=15=f\left(2\right)+g\left(2\right)$

Do đó hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=10-5=5=f\left(2\right)-g\left(2\right)$

Do đó hàm số f(x) – g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\left(x\right).g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right).\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=10.5=50=f\left(2\right).g\left(2\right)$

Do đó hàm số f(x).g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\frac{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}=\frac{10}{5}=2=\frac{f\left(2\right)}{g\left(2\right)}$

Do đó hàm số $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại x = 2.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3