Cho hai hàm số $f\left(x\right)$  và  $g\left(x\right)$có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng hai hàm số $f\left(2x-1\right)$  và $g\left(ax+b\right)$  có cùng khoảng nghịch biến $\left(m;n\right)$ , $m,n\in \mathbb{N}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $\left(4a+b\right)$  bằng

Hàm số $y=f\left(x\right)$  nghịch biến trên khoảng  $\left(1;3\right)$

Hàm số $y=f\left(2x-1\right)$  có  $y^{\text{'}}=2f^{\text{'}}\left(2x-1\right)$

Với $y^{\text{'}}<0\iff 2.f^{\text{'}}\left(2x-1\right)<0\iff f^{\text{'}}\left(2x-1\right)<0\iff 1<2x-1<3\iff 1<x<2$

Vậy hàm số $y=f\left(2x-1\right)$  nghịch biến trên khoảng $\left(1;2\right)$

Hàm số $y=g\left(ax+b\right)$  có đạo hàm  $y^{\text{'}}=a.g^{\text{'}}\left(ax+b\right)$

$y^{\text{'}}=a.g^{\text{'}}\left(ax+b\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}ax+b=0\\ ax+b=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{b}{a}\\ x=\frac{2-b}{a}\end{array}\right.$

Nếu  $a>0\Rightarrow -\frac{b}{a}<\frac{2-b}{a}$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{a}\right);\left(\frac{2-b}{a};+\infty \right)$  (không thỏa mãn).

Nếu  $a<0\Rightarrow -\frac{b}{a}>\frac{2-b}{a}$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{2-b}{a};-\frac{b}{a}\right)$

Do hàm số có cùng khoảng nghịch biến là (1,2) nên $\left\{\begin{array}{l}\frac{2-b}{a}=1\\ -\frac{b}{a}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a}=-1\\ \frac{b}{a}=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\end{array}\right.$ .

Vậy $4a+b=-4$ .

Chọn C.