Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (x₀; y₀) là toạ độ điểm M, ta có:

- Tung độ y₀ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = y₀;

- Hoành độ x₀ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = x₀;

- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ (x₀ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$ 

- Tỉ số $\frac{x_0}{y_0}$ (y₀ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}.$

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy.

Khi đó ta có: OH = x₀ = cosα, MH = OK = y₀ = sinα, OM = 1.

Tam giác OMH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

MH² + OH² = OM²

Hay sin²α + cos²α = 1.

Do đó phương án A là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có: $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$$\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}.$

$\Rightarrow \tan \alpha .\cot \alpha =\frac{y_0}{x_0}.\frac{x_0}{y_0}=1.$ Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

Với α ≠ 90° ta có: $1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{1}{co{s}^2\alpha }$ (do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có:

$1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cot }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$(do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án D.