Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. GA = GB = GC;

B. GA = GB > GC;

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Các tia AG, BG và CG cắt BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F thì D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB.

Mà BC = AC = AB (do tam giác ABC đều).

Do đó BD = DC = CE = EA = AF = FB.

Xét ΔAEB và ΔAFC có:

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{A}$ là góc chung

AE = AF (chứng minh trên)

Do đó ΔAEB = ΔAFC (c.g.c).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh tương tự, ta có ΔBEC = ΔADC (c.g.c).

Suy ra BE = AD (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có AD = BE = CF       (3)

Do G là trọng tâm của ΔABC nên ta có: $GA=\frac{2}{3}AD;GB=\frac{2}{3}BE;GC=\frac{2}{3}CF$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra GA = GB = GC.