Cho đường thẳng ∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\). Hoành độ hình chiếu của điểm M(4; 5) trên ∆ gần nhất với giá trị nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thế tọa độ điểm M(4; 5) vào phương trình ∆, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 - 3t\\5 = 1 + 2t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{2}{3}\\t = 2\end{array} \right.\)

Suy ra M(4; 5) ∉ ∆.

Gọi H là hình chiếu của M lên ∆.

Ta có H ∈ ∆. Suy ra tọa độ H(2 – 3t; 1 + 2t).

Ta có \(\overrightarrow {MH} = \left( { - 2 - 3t; - 4 + 2t} \right)\).

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MH} \bot \vec u\).

Suy ra \(\overrightarrow {MH} .\vec u = 0\).

Khi đó (–2 – 3t).(–3) + (–4 + 2t).2 = 0.

Vì vậy 13t – 2 = 0.

Suy ra \(t = \frac{2}{{13}}\).

Do đó tọa độ \(H\left( {\frac{{20}}{{13}};\frac{{17}}{{13}}} \right)\).

Vậy hoành độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng ∆ là: \(\frac{{20}}{{13}} \approx 1,538\).

Vậy ta chọn phương án D.