Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\cos \alpha \left(0<\alpha <\pi \right)\\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}},\forall n\ge 1\end{array}\right.$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4+2.7+\mathrm{...}+n(3n+1)=n{\left(n+1\right)}^2\left(1\right)$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$  ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}\left(1\right)$

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\left(1\right)$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$ , ta có ${1.2}^2+{2.3}^3+{3.4}^4+\mathrm{...}+\left(n-1\right)n^2=\frac{n\left(n^2-1\right)\left(3n+2\right)}{12}\left(1\right)$

Cho hai dãy số $\left(u_n\right), \left(v_n\right)$ được xác định như sau $u_1=\mathrm{3,}{v}_1=2 \mathrm{và} \left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=u_n^2+2v_n^2\\ v_{n=1}=2u_n.v_n\end{array}\right.$ với $\mathrm{n}\ge 2.$Công thức tổng quát của hai dãy $\left(u_n\right) và \left(v_n\right)$ là