Câu hỏi:
03/04/2024 48
Cho dãy số (un) xác định bởi {u1=cosα(0<α<π)un+1=√1+un2,∀n≥1 . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là
A. u2020=cos(α22020).
B. u2020=cos(α22019).
C. u2020=sin(α22021).
D. u2020=sin(α22020).
Trả lời:

Chọn B
Do 0<α<π nên u2=√1+cosα2=√cos2α2=cosα2; u3=√1+cosα22=√cos2α2=cosα4
Vậy u=cos(α2n−1) với mọi n∈ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n=1 thì u1=cosα (đúng).
Giả sử với n=k∈ℕ* ta có uk=cos(α2k−1). Ta chứng minh uk+1=cos(α2k−1)
Thật vậy uk+1=√1+uk2=√1+cos(α2k−1)2=√cos2(α2k)=cos(α2k)
Từ đó ta có u2020=cos(α22019)
Chọn B
Do 0<α<π nên u2=√1+cosα2=√cos2α2=cosα2; u3=√1+cosα22=√cos2α2=cosα4
Vậy u=cos(α2n−1) với mọi n∈ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n=1 thì u1=cosα (đúng).
Giả sử với n=k∈ℕ* ta có uk=cos(α2k−1). Ta chứng minh uk+1=cos(α2k−1)
Thật vậy uk+1=√1+uk2=√1+cos(α2k−1)2=√cos2(α2k)=cos(α2k)
Từ đó ta có u2020=cos(α22019)CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho dãy số (un ) với {u1=1un+1=un+(−1)2n. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Câu 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2 (1)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2 (1)
Câu 3:
Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*,n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) chia hết cho 120.
Câu 4:
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19
Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1
Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=8(5.23k−2+33k−1)+19.33k−1
Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 chia hết cho 19 nên chia hết cho 19,
Vậy un chia hết cho 19,
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19
Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1
Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=8(5.23k−2+33k−1)+19.33k−1
Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 chia hết cho 19 nên chia hết cho 19,
Vậy un chia hết cho 19,
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Câu 7:
Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:
Lúc đó ta có
Câu 8:
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
Câu 10:
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.
Câu 12:
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n=1 ta có
Bước 2: Giả sử chia hết cho 19 với
Khi đó ta có
Bước 3: Vì chia hết cho 19 nên chia hết cho 19,
Vậy un chia hết cho 19,
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n=1 ta có
Bước 2: Giả sử chia hết cho 19 với
Khi đó ta có
Bước 3: Vì chia hết cho 19 nên chia hết cho 19,
Vậy un chia hết cho 19,
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?