Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\cos \alpha \left(0<\alpha <\pi \right)\\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}},\forall n\ge 1\end{array}\right.$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$  ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}\left(1\right)$

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\left(1\right)$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4+2.7+\mathrm{...}+n(3n+1)=n{\left(n+1\right)}^2\left(1\right)$

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?