Cho dãy số (u­_n) với  $u_n=\frac{n+1}{n+2}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là: A

+) Ta có:  $u_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1+2}=\frac{n+2}{n+3}$

Xét hiệu  $u_{n+1}-u_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n^2+4n+4}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}-\frac{n^2+4n+3}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$.

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0, suy ra  $\frac{1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0$.

Do đó u_n+1 > u_n hay (u_n) là dãy tăng.

+) Ta có:  $u_n=1-\frac{1}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n + 2 ≥ 3

 $\Rightarrow u_n=1-\frac{1}{n+2}\ge 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Ta lại có n ∈ ℕ^* nên n > 0 suy ra  $\frac{1}{n+2}>0$. Do đó  $u_n=1-\frac{1}{n+2}<1$.

Vì vậy  $\frac{2}{3}\le u_n<1$ nên dãy số (u_n) bị chặn.