Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và ${u_n} = \sqrt {2 + u_{n - 1}^2}$ với mọi n ≥ 2. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là: u₁ = 2;

${u_2} = \sqrt {2 + u_1^2} = \sqrt {2 + {2^2}} = \sqrt 6$;

${u_3} = \sqrt {2 + u_2^2} = \sqrt {2 + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2$;

${u_4} = \sqrt {2 + u_3^2} = \sqrt {2 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {10}$;

${u_5} = \sqrt {2 + u_4^2} = \sqrt {2 + {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3$.

Ta thấy $2 = \sqrt {2.\left( {1 + 1} \right)}$; $\sqrt 6 = \sqrt {2.\left( {2 + 1} \right)}$; $\sqrt 8 = \sqrt {2.\left( {3 + 1} \right)}$;

$\sqrt {10} = \sqrt {2.\left( {4 + 1} \right)}$; $\sqrt {12} = \sqrt {2.\left( {5 + 1} \right)}$.

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là ${u_n} = \sqrt {2\left( {n + 1} \right)}$.