Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và \({u_n} = \sqrt {2 + u_{n - 1}^2} \) với mọi n ≥ 2. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là: u₁ = 2;

\({u_2} = \sqrt {2 + u_1^2} = \sqrt {2 + {2^2}} = \sqrt 6 \);

\({u_3} = \sqrt {2 + u_2^2} = \sqrt {2 + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \);

\({u_4} = \sqrt {2 + u_3^2} = \sqrt {2 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {10} \);

\({u_5} = \sqrt {2 + u_4^2} = \sqrt {2 + {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).

Ta thấy \(2 = \sqrt {2.\left( {1 + 1} \right)} \); \(\sqrt 6 = \sqrt {2.\left( {2 + 1} \right)} \); \(\sqrt 8 = \sqrt {2.\left( {3 + 1} \right)} \);

\(\sqrt {10} = \sqrt {2.\left( {4 + 1} \right)} \); \(\sqrt {12} = \sqrt {2.\left( {5 + 1} \right)} \).

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là \({u_n} = \sqrt {2\left( {n + 1} \right)} \).