Cho dãy số (un) biết un = (an + 2) / (n + 1) với a là số thực. Tìm a để dãy số
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) với a là số thực. Tìm a để dãy số (un) là dãy số tăng.
Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}}\).
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{a{n^2} + an + an + a + 2n + 2 - a{n^2} - 2an - 2n - 4}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)\( = \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\).
Để dãy số (un) là dãy số tăng thì un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ* hay un + 1 – un > 0 với mọi n ∈ ℕ*, tức là \(\frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) với mọi n ∈ ℕ*.
Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Nên \(\frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) ⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.
Vậy (un) là dãy số tăng khi a > 2.