Cho dãy số (u_n) biết ${u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}$ với a là số thực. Tìm a để dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Ta có ${u_{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$

$= \frac{{a{n^2} + an + an + a + 2n + 2 - a{n^2} - 2an - 2n - 4}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$$= \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$.

Để dãy số (u_n) là dãy số tăng thì u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^* hay u_{n + 1} – u_n > 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là $\frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Nên $\frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0$ ⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (u_n) là dãy số tăng khi a > 2.