Cho dãy số (u_n), biết ${u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$.

Chứng minh rằng u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

Ta có ${u_{n + 4}} = \sin \left[ {\left( {2.\left( {n + 4} \right) - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$$= \sin \left[ {\left( {2n + 8 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$

$= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 8.\frac{\pi }{4}} \right]$$= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right]$

$= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}$, $\forall n \ge 1$.

Vậy u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.