Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

${u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}$;

Ta có u_{n + 1} = $\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}$ = $\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{{2.2}^n}}}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{{2.2}^n}}} - \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} - 2\sqrt n }}{{{{2.2}^n}}}$ $= \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt {4n} }}{{{{2.2}^n}}}$

$= \frac{{n + 1 - 4n}}{{{{2.2}^n}\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} } \right)}} = \frac{{ - 3n + 1}}{{{{2.2}^n}\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} } \right)}} < 0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

(do – 3n + 1 < 0, 2ⁿ > 0 và $\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} > 0$ với mọi n ∈ ℕ^*).

Do vậy, u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với ${u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}$ là dãy số giảm.