Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ^*.

Tính tổng S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀.

Ta có S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀

\( = \left( {{v_1} + \frac{3}{2}} \right) + \left( {{v_2} + \frac{3}{2}} \right) + \left( {{v_3} + \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{v_{10}} + \frac{3}{2}} \right)\)

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₁₀) + \(\frac{3}{2}.10\)

\( = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} + 15\)\( = \frac{{ - \frac{1}{2}.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} + 15\)\( = \frac{{280\,\,483}}{{19\,\,683}}\).