Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ^*.

Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

Ta có: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).

Từ \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\), suy ra \({u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{{3.3}^{n - 1}} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).