Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq². (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq² = 78 (*); aq = a + 2d; aq² = a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq² = a + 8d, suy ra aq² – a = 8d ⇔ a(q² – 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq², mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.