Cho đa thức G= 1/2 x^2 +b.x + 23 với b là một số cho trước sao cho 1/2 +b là số nguyên

Bài 7* trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đa thức $G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23$ với b là một số cho trước sao cho $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên. Chứng tỏ rằng: G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Trả lời

Ta có: $G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+bx+23$

$=\left(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x\right)+\left(\frac{1}{2}x+bx\right)+23$

$=\frac{x^2-x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$

$=\frac{(x-1)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$.

Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên $\frac{\left(x-1\right)x}{2}$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Mà $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên, suy ra $\frac{\left(x-1\right)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Vậy G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Phân thức đại số