Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng: a) AC = BD. b) AD // BC.

Bài 4.38 trang 66 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD.

b) AD // BC.

Trả lời

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

a) Xét ∆ABC và ∆DCB có:

$\widehat{BAC}=\widehat{CDB}=90°$ (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ∆ABC = ∆DCB nên $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:  

$\widehat{OCB}+\widehat{CBO}+\widehat{BOC}$ = 180°.

Mà $\widehat{OCB}=\widehat{CBO}$ do $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ nên $2\widehat{CBO}+\widehat{BOC}$= 180°

Suy ra $2\widehat{CBO}$ = 180° – $\widehat{BOC}$

Do đó, $\widehat{CBO}=\frac{180°-\widehat{BOC}}{2}$ (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:  

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$.

Xét tam giác OAD có:

$\widehat{OAD}+\widehat{ADO}+\widehat{AOD}$ = 180°.

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{ADO}$ do $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ nên $2\widehat{ADO}+\widehat{AOD}$= 180°

Do đó, $\widehat{ADO}=\frac{180°-\widehat{AOD}}{2}$ (2)

Mà $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$  (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, $\widehat{CBO}=$$\widehat{ADO}$ hay $\widehat{CBD}=\widehat{ADB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Ôn tập chương 4

Bài 17: Thu thập và phân loại dữ liệu