Cho ba số \(\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Do ba số \(\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

\(\frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{b - a - 2b}}{{b\left( {b - a} \right)}} = \frac{{2b - \left( {b - c} \right)}}{{b\left( {b - c} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - a - b}}{{b - a}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}\) (do b ≠ 0)

\( \Rightarrow \left( { - a - b} \right)\left( {b - c} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {b + c} \right)\)

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² + bc – ab – ac

⇔ ac – b² = b² – ac

⇔ 2b² = 2ac

⇔ b² = ac

\( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\).

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.