Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1)

Bài 7.33 trang 59 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1). 

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B. 

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. 

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB. 

Trả lời

a) Đường tròn tâm A đi qua B có bán kính R = AB = $\sqrt{{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2}=\sqrt{17}$. 

Phương trình đường tròn tâm A(– 1; 0) và đi qua B là: 

${\left(x-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2={\left(\sqrt{17}\right)}^2$ hay (x + 1)² + y² = 17. 

b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(3-\left(-1\right);1-0\right)=\left(4;1\right)$. 

Suy ra một vectơ pháp tuyến của AB là $\overrightarrow{n}=\left(1;-4\right)$. 

Đường thẳng AB đi qua điểm A(– 1; 0) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-4\right)$, do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: 1(x + 1) – 4( y – 0) = 0 hay x – 4y + 1 = 0. 

c) Đường tròn tâm O(0; 0) tiếp xúc với đường thẳng AB có bán kính bằng khoảng cách từ O đến AB. 

Ta có: R = d(O; AB) = $\frac{\left|0-4.0+1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$. 

Phương trình đường tròn tâm O có bán kính R =  $\frac{1}{\sqrt{17}}$là: ${\left(x-0\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{17}}\right)}^2$ hay x² + y² = $\frac{1}{\sqrt{17}}$.