Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC

Bài 7.32 trang 59 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Trả lời

Độ dài đường cao từ đỉnh A đến BC chính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC, do đó diện tích của tam giác ABC bằng nửa tích khoảng cách từ A đến BC với BC. 

Ta viết phương trình đường thẳng BC: có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BC}=\left(-2-3;4-5\right)=\left(-5;-1\right)$  và đi qua B(3; 5).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\overrightarrow{n}=\left(1;-5\right)$.

Do đó, phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) – 5(y – 5) = 0 hay x – 5y + 22 = 0. 

Áp dụng công thức khoảng cách ta có: d(A; BC) = $\frac{\left|1-5.\left(-1\right)+22\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{14\sqrt{26}}{13}$.

Độ dài đoạn BC là: BC = $\sqrt{{\left(3-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt{26}$. 

Vậy diện tích tam giác ABC là: S_ABC = $\frac{1}{2}$d(A; BC) . BC =  $\frac{1}{2}.\frac{14\sqrt{26}}{13}.\sqrt{26}=14$(đvdt).