b) Chứng minh rằng BD vuông góc (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

b) Chứng minh rằng BD (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Trả lời

b) Vì ABCD là hình vuông nên BD AC.

Do SA (ABCD) và BD (ABCD) nên SA BD.

Ta có: BD SA, BD AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).

Suy ra BD (SAC).

Gọi O = AC ∩ BD, kẻ OK SC (K SC).

Do BD (SAC) và OK (SAC) nên BD OK.

Ta có: OK SC và OK BD.

Từ đó ta có đoạn thẳng OK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC nên d(BD, SC) = OK.

Do ABCD là hình vuông nên ABC^=90°, do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại B có:

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.

Suy ra AC=a2.

Do O = AC ∩ BD và AC, BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Suy ra O là trung điểm của AC nên OC=AC2=a22.

Do SA (ABCD) và AC (ABCD) nên SA AC.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAC vuông tại A (do SA AC) có:

SC2 = SA2 + AC2.

Do đó SC=a2+a22=a2+2a2=a3.

Xét ∆SAC và ∆OKC có:

SAC^=OKC^=90°;

OCK^ là góc chung

Do đó ∆SAC ∆OKC (g.g).

Suy ra SAOK=SCOC (tỉ số đồng dạng)

Nên OK=SA.OCSC=a.a22a3=a66.

Khi đó dBD,SC=OK=a66.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC a66.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả