Cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2024) chi tiết và hay nhất

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Lý thuyết

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

1.1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

1.2. Sự biến thiên

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

 - Tính đạo hàm y’.

 - Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

 - Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

1.3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

- Chú ý:

+ Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

+ Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

+ Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

2. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

2.1 Hàm số $\mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{\text{\hspace{0.17em}}}\mathbf{b}}{\mathbf{c}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}}\mathbf{d}}\mathbf{;}$$\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathbf{(}\mathit{c}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{;}\mathit{a}\mathit{d}\mathbf{-}\mathit{b}\mathit{c}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{)}$

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}$.

Lời giải:

1. Tập xác định: R\ { – 1}.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên: $y\text{'}=\frac{1}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^2}>0$$\forall x\ne -1$

Và y’ không xác định khi x = –1; y’ luôn luôn dương với mọi x khác – 1.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $(-1;+\infty )$.

+ Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị.

+ Tiệm cận $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x+\text{}1}{x\text{}+\text{\hspace{0.17em}}1}=+\infty ;$$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x\text{}+\text{\hspace{0.17em}}1}=-\infty ;$

Do đó, đường thẳng x = – 1 là đường tiệm cận đứng.

Lại có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2$

Suy ra, đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2.

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1); cắt trục hoành tại điểm $\left(\frac{-1}{2};0\right)$.

Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Dạng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+\text{\hspace{0.17em}}b}{cx+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}d};(c\ne 0;ad-bc\ne 0)$

2.2. Hàm số y = ax³ + bx² + cx  + d (a ≠ 0)

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x³  + 3x² – 1

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

y’ = – 3x² + 6x; y’ = 0$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Trên các khoảng $(-\infty ;0)$và $(2;+\infty );y\text{'}$ âm nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng (0; 2); y’ dương nên  hàm số đồng biến.

+ Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 2; y_CĐ  = y(2) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = y(0) = –1.

+ Các giới hạn vô cực:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }(-x^3+3x^2-1)=-\infty ; \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }(-x^3+3x^2-1)=+\infty \end{gathered}$$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Ta có y(0) = – 1 nên (0; – 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.

Đồ thị hàm số được cho trên hình bên.

Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x³ – 3x²  + 3x + 1.

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên.

+ Chiều biến thiên:

Vì y’= 3x² – 6x + 3 = 3(x – 1)² $\ge 0\forall x\in R$và f’(x) = 0 tại x = 1 nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn vô cực:

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và đi qua điểm A(1; 2).

Đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

2.3. Hàm số y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x⁴  + 2x² – 1.

Lời giải:

1. Tập xác định: R

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên;

Ta có: y’ = – 4x³ + 4x

$y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và (0; 1) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (– 1; 0) và ) và $(1;+\infty$thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biên.

+ Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và y_CT = y(0) = – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và x = 1; y_CD = y(– 1)= y(1) = 0.

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì f(– x) = – (– x)⁴ + 2(– x)² – 1 = – x⁴  + 2x² – 1 = f(x).

Do đó, hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng.

Đồ  thị cắt trục hoành tại các điểm (– 1; 0) và (1; 0) ; cắt trục tung tại điểm (0 ; –1).

Dạng của đồ thị  y = ax⁴ + bx² + c  (với a ≠ 0)

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$.

Lời giải:

1. Tập xác định: R\ {1}.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên: $y\text{'}=\frac{-3}{{(x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}^2}$

Và y’ không xác định khi x = 1; y’ luôn luôn âm với mọi x khác 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $(1;+\infty )$.

+ Cực trị

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; – 2); cắt trục hoành tại điểm (– 2; 0).

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x³ – 3x.

Lời giải:

1. Tập xác định: R

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

y’ = 3x² – 3x; y’ = 0$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}\right.$

Trên các khoảng $(-\infty ;0)$và $(1;+\infty );y\text{'}$ dương nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng (0; 1) thì y’ âm nên  hàm số nghịch biến.

+ Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ  = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y_CT = y(1) = – 2.

+ Các giới hạn vô cực:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }(x^3-3x)=+\infty ; \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }(x^3-3x)=-\infty \end{gathered}$$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0); cắt trục hoành tại 3 điểm là (0; 0); $\left(\sqrt{3};0\right);(-\sqrt{3};0)$,

Đồ thị hàm số được cho trên hình bên.

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x².

Lời giải:

1. Tập xác định: R

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

Ta có: y’ = 4x³ + 4x

$y\text{'}=0\iff x=0$

Trên các khoảng $(-\infty ;0)$ thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên các khoảng $(0;+\infty )$ thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

+ Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và y_CT = y(0) = 0.

Hàm số không có cực đại.

+ Giới hạn tại vô cực:

$\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4\left(1+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x^2}\right)=+\infty ;\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4\left(1+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x^2}\right)=+\infty \end{array}$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì f(– x) = (– x)⁴ + 2(– x)² = x⁴  + 2x² = f(x).

Do đó, hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng.

Đồ  thị cắt trục hoành tại các điểm (0; 0) ; cắt trục tung tại điểm (0 ; 0).

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$.

Lời giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=3x^2-6x$

$y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên: 

Vậy:

- Hàm số đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ 

và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

- Hàm số nghịch biến trên $(0;2).$

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0; giá trị cực đại là y = 2.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; giá trị cực tiểu là y = -2.

$y^{″}=6x-6$

​$y^{″}=0\iff 6x-6=0\iff x=1\Rightarrow y=0$

Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng.

Cho: $x=-1\Rightarrow y=-2;x=3\Rightarrow y=2$

Đồ thị hàm số:

 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^4+2x^2+1$.

Lời giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=-4x^3+4x$

$y^{\prime }=0\iff -4x^3+4x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

Vậy:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;1\right).$

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

- Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1; giá trị cực đại y = 2.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; giá trị cực tiểu y = 1.

- Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.

$y=0\iff -x^4+2x^2+1=0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}{x}^2=1+\sqrt{2}\\ x^2=1-\sqrt{2}(L)\end{array}$

$\Rightarrow x=\pm \sqrt{1+\sqrt{2}}$

Đồ thị hàm số:

Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hàm số  $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên $ℝ$và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)+1=0$

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Câu 2: Hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ xác định trên $ℝ$ và đồ thị như vẽ.

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?

A. (-$\infty$; -1) $\cup$ (2; +$\infty$)

B. (-$\infty$; -1), (2; +$\infty$)

C. (-1; 0) $\cup$ (0; 2)

D. (-$\infty$; -4), (2; +$\infty$)

Câu 3: Hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ xác định trên $ℝ$ và đồ thị như vẽ.

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?

A. (-1; 1)

B. (-2; +$\infty$)

C. (-$\infty$; 3), (-1; +$\infty$)

D. (-$\infty$; -1), (1; +$\infty$)

Câu 4: Hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right)$ xác định trên $ℝ$ và đồ thị như vẽ.

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?

A. (-1; 2), (1; +$\infty$)

B. (-$\infty$; -1)

C. (-1; 0), (1; +$\infty$)

D. (2; +$\infty$)

Câu 5: Hàm số $y=f’\left(x\right)$có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-$\infty$; 4), (1; +$\infty$)

B. (-$\infty$; -1), (1; +$\infty$)

C. (-2; 4), (1; +$\infty$)

D. (-2; +$\infty$)

Câu 6: Hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ xác định trên $ℝ$ và đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (-3; 1)

B. Hàm số nghịch biến trên (-$\infty$; -1), (1; +$\infty$)

C. Hàm số nghịch biến trên (-1; 1)

D. Hàm số đồng biến trên (-3; 1)

Câu 7: Cho hàm số bậc ba $y=f’\left(x\right)$liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số $\left(C\right):y=f(-3+x^2).$

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-$\infty$; 0), (2; +$\infty$)

B. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (0; 1)

C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng (1; 2)

D. Hàm số (C) đồng biến trên khoảng (-2; -1)

Câu 8: Cho hàm số $y=-x^3+a{x}^2+bx+c$ xác định và liên tục trên $ℝ$ và bảng biến thiên như hình vẽ

Tính giá trị của biểu thức $T=f\left(2\right)+2.f\left(0\right)$

A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 8.

Câu 9: Đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+1$ có đồ thị như hình vẽ sau.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a<0;b>0;c>0;d>0$

B. $a<0;b<0;c>0;d>0$

C. $a<0;b<0;c>0;d>0$

D. $a<0;b>0;c<0;d>0$

Xem thêm các dạng bài tập Toán liên quan khác:

50 Bài tập Hàm số bậc nhất (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0) (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về hàm số liên tục (2024) có đáp án hay nhất