50 Bài tập Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0) (có đáp án năm 2023) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Đồ thị của hàm số $\mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{ax}}^{\mathbf{2}}(a\ne 0)$

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2\left(\mathrm{a}\ne 0\right)$ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol đỉnh O (với O là gốc tọa độ).

Tính chất:

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

2. Cách vẽ đồ thị hàm số $\mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{ax}}^{\mathbf{2}}(a\ne 0)$

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa x và y.

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

Chú ý: Vì đồ thị hàm số y =ax² (a ≠ 0) luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho hai hàm số $y=\frac{3}{2}{x}^2$ và $y=-\frac{3}{2}{x}^2$. Điền vào chỗ trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị với trục Ox.

Lời giải

a) y = f(x) = $\frac{3}{2}{x}^2$

+ Với x = -2 $\Rightarrow f(-2)=\frac{3}{2}.{\left(-2\right)}^2=\frac{3}{2}.4=6$

+ Với x = -1 $\Rightarrow f(-1)=\frac{3}{2}.{\left(-1\right)}^2=\frac{3}{2}.1=\frac{3}{2}$

+ Với x = 0 $\Rightarrow f(0)=\frac{3}{2}{.0}^2=\frac{3}{2}.0=0$

+ Với x = 1 $\Rightarrow f(1)=\frac{3}{2}{1}^2=\frac{3}{2}.1=\frac{3}{2}$

+ Với x = 2 $\Rightarrow f(2)=\frac{3}{2}{.2}^2=\frac{3}{2}.4=6$

y = g(x) = -$\frac{3}{2}{x}^2$

+ Với x = -2 $\Rightarrow g(-2)=-\frac{3}{2}.{\left(-2\right)}^2=-\frac{3}{2}.4=-6$

+ Với x = -1 $\Rightarrow g(-1)=-\frac{3}{2}.{\left(-1\right)}^2=-\frac{3}{2}.1=-\frac{3}{2}$

+ Với x = 0 $\Rightarrow g(0)=-\frac{3}{2}{.0}^2=-\frac{3}{2}.0=0$

+ Với x = 1 $\Rightarrow f(1)=-\frac{3}{2}{1}^2=-\frac{3}{2}.1=-\frac{3}{2}$

+ Với x = 2 $\Rightarrow f(2)=-\frac{3}{2}{.2}^2=-\frac{3}{2}.4=-6$

Ta có kết quả trong các bảng sau

Vẽ đồ thị:

Nhận xét:

Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=\frac{3}{2}{x}^2$ và $y=\frac{-3}{2}{x}^2$ đối xứng nhau qua trục Ox.

Bài 2: Cho ba hàm số:

a) Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm ba điểm A, B, C có cùng hoành độ x = -1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng.

c) Tìm ba điểm A’ ; B’ ; C’ có cùng hoành độ x = 1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của A và A’ ; B và B’ ; C và C’.

d) Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của x để hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

a) Bảng giá trị tương ứng của x và y:

Vẽ đồ thị:

Trên mặt phẳng lưới lấy các điểm (-2; 2); (-1; ½); (0; 0); (1; 1/2); (2; 2), nối chúng thành một đường cong ta được đồ thị hàm số y = ½.x².

Lấy các điểm (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4), nối chúng thành một đường cong ta được đồ thị hàm số y = x².

Lấy các điểm (-2; 8); (-1; 2); (0; 0); (1; 2); (2; 8), nối chúng thành một đường cong ta được đồ thị hàm số y = 2x².

b) Lấy các điểm A, B, C lần lượt nằm trên 3 đồ thị và có hoành độ bằng -1,5.

Từ điểm (-1,5;0) nằm trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy. Đường thẳng này cắt các đồ thị  lần lượt tại các điểm A,B,C.

Gọi y_A,y_B,y_C lần lượt là tung độ của các điểm A,B,C. Ta có:

Khi đó tung độ điểm A bằng 9/8; tung độ điểm B bằng 9/4; tung độ điểm C bằng 9/2

c)

Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên 3 đồ thị và có hoành độ bằng 1,5.

Từ điểm (1,5;0) nằm trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy. Đường thẳng này cắt các đồ thị lần lượt tại các điểm A,B,C.

Gọi y_A,y_B,y_C lần lượt là tung độ của các điểm A,B,C. Ta có:

Khi đó 

Nhận xét: A và A’; B và B’; C và C’ đối xứng nhau qua trục Oy.

d) Hàm số có giá trị nhỏ nhất ⇔ y nhỏ nhất.

Dựa vào đồ thị nhận thấy cả ba hàm số đạt y nhỏ nhất tại điểm O(0; 0).

Vậy ba hàm số trên đều đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0.

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = x².

a) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

b) Tính các giá trị f(-8); f(-1,3); f(-0,75); f(1,5).

c) Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị (0,5)²; (-1,5)²; (2,5)².

d) Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số √3 ; √7.

Lời giải

a) Ta có bảng giá trị:

b) 

+) f(-8) = ${\left(-8\right)}^2=64$

+)$f(-1,3)={\left(-1,3\right)}^2=1,69$

+)$f\left(-0,75\right)={\left(-0,75\right)}^2=0,5625$

+) $f\left(1,5\right)=1,5^2=2,25$ .

c) 

– Để ước lượng giá trị (0,5)² ta tìm điểm M thuộc đồ thị có hoành độ là 0,5. Khi đó, tung độ của điểm M chính là giá trị (0,5)². Từ điểm (0,5; 0) trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy cắt đồ thị tại điểm M. Từ điểm M trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ta xác định được giá trị của (0,5)²

– Để ước lượng giá trị (-1,5)² ta tìm điểm L thuộc đồ thị có hoành độ là -1,5. Khi đó, tung độ của điểm L chính là giá trị (-1,5)². Từ điểm (-1,5; 0) trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy cắt đồ thị tại điểm L. Từ điểm L trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ta xác định được giá trị của (-1,5)²

– Để ước lượng giá trị (2,5)² ta tìm điểm N thuộc đồ thị có hoành độ là 2,5. Khi đó, tung độ của điểm N chính là giá trị (2,5)². Từ điểm (2,5;0) trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy cắt đồ thị tại điểm N. Từ điểm N trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ta xác định được giá trị của ${\left(2,5\right)}^2$.

Dựa vào đồ thị nhận thấy các điểm M, N, L có tọa độ là : L(-1,5 ; 2,25) ; M(0,5 ; 0,25) ; N(2,5 ; 6,25).

Vậy (0,5)² = 2,25 ; (-1,5)² = 2,25 ; (2,5)² = 6,25.

d)

– Để ước lượng vị trí điểm biểu diễn số $\sqrt{3}$ trên trục hoành ta tìm điểm E thuộc đồ thị có tung độ là ${\left(\sqrt{3}\right)}^2$ = 3. Khi đó, hoành độ của điểm E chính là vị trí điểm biểu diễn $\sqrt{3}$. Từ điểm (0; 3) trên trục tung ta kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị tại điểm E. Từ điểm E trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Oy ta xác định được hoành độ của điểm E chính là vị trí điểm biểu diễn $\sqrt{3}$.

– Để ước lượng vị trí điểm biểu diễn số $\sqrt{7}$ trên trục hoành ta tìm điểm F thuộc đồ thị có tung độ là ${\left(\sqrt{7}\right)}^2$ = 7. Khi đó, hoành độ của điểm F chính là vị trí điểm biểu diễn $\sqrt{7}$ . Từ điểm (0; 7) trên trục tung ta kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị tại điểm F. Từ điểm F trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Oy ta xác định được hoành độ của điểm F chính là vị trí điểm biểu diễn $\sqrt{7}$ .

Ta có: ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$ ; ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$

⇒ Các điểm E$\left(\sqrt{3};3\right)$ và F$\left(\sqrt{7};7\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = x².

Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ (h.10), có một điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax².

a) Tìm hệ số a.

b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không?

c) Hãy tìm thêm hai điểm nữa(không kể điểm O) để vẽ đồ thị.

Lời giải

a) Dựa trên hình 10 ta thấy điểm M có tọa độ (2; 1).

M thuộc đồ thị hàm số y = ax²

b) Với x = 4 ta có 

Vậy điểm A(4 ; 4) thuộc đồ thị hàm số 

c) Chọn x = -2 ⇒ 

Vậy (-2; 1) thuộc đồ thị hàm số.

Chọn x = -4 ⇒ 

Vậy (-4; 4) thuộc đồ thị hàm số.

* Vẽ đồ thị:

Bài 5: Biết rằng đường cong trong hình 11 là một parapol y = ax².

a) Tìm hệ số a.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parapol có hoành độ x = -3.

c) Tìm các điểm thuộc parapol có tung độ y = 8.

Lời giải

a) Ta có đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm (-2 ; 2)

b) Tại x = -3 ta có: 

Vậy điểm có hoành độ x = -3 thì tung độ bằng 4,5.

c) Hoành độ các điểm có tung độ y =8 thỏa mãn phương trình:  ⇔ x² = 16 ⇔ x = 4 hoặc x = -4.

Vậy các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 8 là (4; 8) và (-4; 8).

Bài 6: Cho hai hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^2$ và y = -x + 6.

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó.

Lời giải

a)

- Vẽ đường thẳng y = -x + 6

Cho x = 0 ⇒ y = 6 được điểm (0, 6)

Cho y = 0 ⇒ x = 6 được điểm (6, 0)

⇒ Đường thẳng y = -x + 6 đi qua các điểm (6; 0) và (0; 6).

- Vẽ parabol $y=\frac{1}{3}{x}^2$

Bảng giá trị

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{3}{x}^2=-x+6$

$\iff \frac{1}{3}{x}^2+x-6=0$

$\iff \frac{1}{3}{x}^2-x+2x-6=0$

$\iff x\left(\frac{1}{3}x-1\right)+6\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0$

$\iff \left(\frac{1}{3}x-1\right)\left(x+6\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{1}{3}x-1=0\\ x+6=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{1}{3}x=1\\ x=-6\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-6\end{array}\right.$

+ Với x = 3 $\Rightarrow y=\frac{1}{3}{.3}^2=\frac{1}{3}.9=3$ $\Rightarrow A\left(3;3\right)$

+ Với x = -6$\Rightarrow y=\frac{1}{3}.{\left(-6\right)}^2=12\Rightarrow B\left(-6;12\right)$

Vậy giao điểm của (P) và (d) là hai điểm A (3; 3) và B (-6; 12).

Bài 7: Cho hàm số y = -0,75x². Qua đồ thị của hàm số đó, hãy cho biết khi x tăng từ -2 đến 4 thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y là bao nhiêu?

Lời giải

- Lập bảng giá trị:

- Vẽ đồ thị:

- Quan sát đồ thị hàm số y = -0,75x²:

Khi x tăng từ -2 đến 4, y tăng từ -3 đến 0 rồi lại giảm xuống -12.

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của y = -12 đạt được khi x = 4

Giá trị lớn nhất của y = 0 đạt được khi x = 0.